Закон в интегральном представлении

Рассмотрим бесконечно прямой проводник, по которому циркулирует электрический ток, образующий поле, ограниченное контуром в виде окружности. Плоскость, пронизывающая проводник, – это круг, очерчённый линией данной окружности (см. рис. 1).

Рис. 1. Поле бесконечно прямого тока

Воспользуемся методом разбиения контура на мизерные участки dl (элементарные векторы длины контура).  Пусть φ – угол между векторами dl и B. В нашем случае, при суммировании отрезков, вектор индукции B поворачивается так, что он очерчивает круг, то есть угол φ → 2π.

Из теоремы Остроградского-Гаусса вытекает формула:

Учитывая, что cos φ = 1,

следовательно:

Данная формула – постулат, подтверждённый экспериментально. Согласно этому постулату, циркуляция вектора B по окружности, то есть по замкнутому контуру, равна μ0I, где μ0 = 1/c2 ε0 – магнитная постоянная.

Ориентация вектора dB определяется путём применения правила буравчика. Это направление всегда перпендикулярно вектору плотности. Если проводников будет несколько (например, N), тогда

Каждый ток, с учётом знака, необходимо учитывать такое количество раз, которое соответствует числу его охватов контуром.

Ток берётся со знаком «+», если он по направлению обхода образует правовинтовую систему. При этом, отрицательным считается ток противоположного направления.

Заметим, что формула справедлива только для вакуума. В обычных условиях необходимо учитывать проницаемость среды.

Если ток распределён в пространстве (произвольный ток), тогда

где S – натянутая на контур поверхность, j – объёмная плотность тока. С учётом последнего выражения, формулу полного тока в вакууме можно записать:

Рис. 2. Иллюстрация закона для вакуума

Отсюда вытекает:

1. Закон справедлив не только для бесконечно прямолинейного проводника, но и для контуров, произвольной конфигурации.
2. Циркуляция вектора магнитной индукции B сориентированного вдоль магнитных линий, всегда отлична от нуля.
3. Ненулевая циркуляция свидетельствует о том, что магнитное поле прямолинейного, бесконечно длинного проводника не потенциально. Такое поле называют вихревым, либо соленоидным.

Для справки

В самой полной и объемлющей системе измерений СГС напряженность магнитного поля представляется в эрстедах (Э). В другой действующей системе (СИ) она выражается в амперах на один метр (А/метр). Сегодня эрстед постепенно вытесняется более удобной в работе единицей – ампером на метр. При переводе результатов измерений или расчетов из СИ в СГС используется следующее соотношение:

1 Э = 1000/(4π) А/м ≈ 79,5775 Ампер/метр.

В заключительной части обзора отметим, что независимо от того, какая используется формулировка закона полных токов – суть его остается неизменной. Своими словами это можно представить так: он выражает отношения между токами, пронизывающими данный контур и создаваемыми в веществе магнитными полями.

Напоследок рекомендуем просмотреть полезное видео по теме статьи:

Материалы по теме:

• Что такое электрическое поле
• Зависимость сопротивления проводника от температуры
• Величайшие открытия Николы Тесла

Опубликовано:
03.07.2019
Обновлено: 03.07.2019

9.1.4. Неразветвленная магнитная цепь

Задачей расчета
неразветвленной магнитной цепи в большинстве случаев является определение МДС F= Iw, необходимой для того, чтобы получить
заданные значения магнитного потока или магнитной индукции в некотором участке магнитопровода (чаще всего в воздушном зазоре).

На рис. 9.9 приведен пример
неразветвленной магнитной цепи — магнитопровод
постоянного поперечного сечения S₁ с зазором. На этом же рисунке указаны другие
геометрические размеры обоих участков магнитопровода:
средняя длина l₁
магнитной линии первого участка из ферромагнитного материала и длина l₂ второго участка — воздушного зазора. Магнитные свойства
ферромагнитного материала заданы основной кривой намагничивания В(Н) (рис. 9.10) и тем самым по (9.4)
зависимостью m_a(Н).

По закону полного тока (9.2)

где H₁ и H₂ — напряженности магнитного поля в первом и втором
участках.

В воздушном зазоре значения
магнитной индукции В₂ и
напряженности H₂
связаны простым соотношением В₂ = mН₂, а для участка из ферромагнитного
материала В₁ = m_a1 Н₁.

Кроме того, в неразветвленной
магнитной цепи магнитный поток одинаков в любом поперечном сечении магнитопровода:

Ф
= В₁S₁ =B₂S₂, (9.6)

где S₁ и S₂ — площади поперечного сечения участка из ферромагнитного
материала и воздушного зазора.

Если задан магнитный поток Ф, то по (9.6) найдем значения индукций B₁ и B₂. Напряженность поля H₁ определим по основной кривой намагничивания (рис. 9.10), а
H₂= B₂m. Далее по (9.5) вычислим необходимое значение МДС.

Сложнее
обратная задача: расчет магнитного потока при заданной
МДС F.

Заменив в (9.5) напряженности
магнитного поля значениями индукции, получим

,

или с учетом (9.6)

где r_Mk= l_kS_km_ak — магнитное сопротивление k-гoучастка магнитной цепи, причем магнитное сопротивление k-гo участка нелинейное, если зависимость В(H) для этого участка нелинейная (рис. 9.10), т.е. m_ak≠ const.

Для участка цепи с нелинейным
магнитным сопротивлением r_Mможно построить вебер-амперную характеристику — зависимость
магнитного потока Ф от магнитного напряжения U_Mна этом участке магнитопровода.
Вебер-амперная характеристика участка магнитопровода
рассчитывается по основной кривой намагничивания ферромагнитного материала В(H). Чтобы построить вебер-амперную характеристику, нужно ординаты и
абсциссы всех точек основной кривой намагничивания умножить соответственно на
площадь поперечного сечения участка Sи его среднюю длину l.

На рис. 9.11 приведены
вебер-амперные характеристики Ф(U_M1) для ферромагнитного участка с нелинейным магнитным
сопротивлением r_M1 и Ф(U_M2) для воздушного зазора с постоянным магнитным сопротивлением r_M2 = l₂ S₂m магнитопровода по
рис. 9.9.

Между расчетами нелинейных
электрических цепей постоянного тока и магнитных цепей с
постоянными МДС нетрудно установить аналогию.
Действительно, из уравнения (27.7) следует, что магнитное напряжение на участке
магнитной цепи равно произведению магнитного сопротивления участка на магнитный
поток U_M = r_MФ. Эта зависимость аналогична закону Ома
для резистивного элемента электрической цепи постоянного тока U = rI.
Сумма магнитных напряжений в контуре магнитной цепи равна сумме МДС этого
контура SU_M = SF, что аналогично второму закону Кирхгофа для электрических цепей
постоянного тока SU = SE.

Продолжая дальше аналогию
между электрическими цепями постоянного тока и магнитными цепями с постоянными МДС, представим неразветвленную
магнитную цепь (рис. 9.9) схемой замещения (рис. 9.12, а).

В качестве иллюстрации
ограничимся применением для анализа неразветвленной магнитной цепи графических
методов: метода сложения вебер-амперных характеристик (рис. 9.11) и метода нагрузочной
характеристики (рис. 9.12, б).

Согласно первому методу
построим вебер-амперную характеристику всей неразветвленной магнитной цепи Ф(U_M1 + U_M2), графически складывая по напряжению вебер-амперные
характеристики ее двух участков. При известной МДС F= Iwпо вебер-амперной характеристике всей магнитной цепи
определим рабочую точку А, т. е. магнитный поток Ф,
а по вебер-амперным характеристикам участков магнитопровода
— магнитные напряжения на каждом из них.

Согласно второму методу для
второго (линейного) участка построим нагрузочную характеристику

т. е. прямую, проходящую
через точку Fна оси абсцисс
и точку Fr_M2на оси ординат. Точка пересечения А нагрузочной
характеристики с вебер-амперной характеристикой ферромагнитного участка цепи Ф(U_M1) определяет магнитный поток Ф в цепи и магнитные
напряжения на ферромагнитном участке U_M1 и воздушном зазоре U_M2. Значение индукции в воздушном зазоре B₂ = Ф/S₂.

9.1.1. Элементы магнитной цепи

Магнитной цепью (магнитопроводом) называется совокупность различных
ферромагнитных и неферромагнитных частей электротехнических устройств для создания магнитных полей нужных конфигурации и
интенсивности. В зависимости от принципа действия электротехнического
устройства магнитное поле может возбуждаться либо постоянным магнитом, либо
катушкой с током, расположенной в той или иной части магнитной цепи.

К простейшим магнитным цепям
относится тороид из однородного ферромагнитного
материала (рис. 9.1). Такие магнитопроводы
применяются в многообмоточных трансформаторах, магнитных усилителях, в
элементах ЭВМ и других электротехнических устройствах.

На рис. 9.2 показана
более сложная магнитная цепь электромеханического устройства, подвижная часть
которого втягивается в электромагнит при постоянном (или переменном) токе в
катушке. Сила притяжения зависит от положения подвижной части магнитопровода.

На рис. 9.3 изображена
магнитная цепь, в которой магнитное поле возбуждается постоянным магнитом. Если
подвижная катушка, расположенная на ферромагнитном цилиндре, включена в цепь
постоянного тока, то на нее действует вращающий момент. Поворот катушки с током
практически не влияет на магнитное поле магнитной цепи. Такая магнитная цепь
есть, например, в измерительных приборах магнитоэлектрической системы.

Рассмотренные магнитные цепи,
как и другие возможные конструкции, можно разделить на неразветвленные
магнитные цепи (рис. 9.1 и 9.3), в которых магнитный поток в любом сечении цепи
одинаков, и разветвленные магнитные цепи (рис. 9.2), в которых магнитные потоки
в различных сечениях цепи различны. В общем случае разветвленные магнитные цепи
могут быть сложной конфигурации, например в электрических двигателях,
генераторах и других устройствах.

В большинстве случаев
магнитную цепь следует считать нелинейной, и лишь при определенных допущениях и
определенных режимах работы магнитную цепь можно считать линейной.