Метод узловых напряжений
Кроме метода контурных токов, для уменьшения трудоемкости расчётов, применяют метод узловых напряжений, при этом возможно еще меньшее число уравнений, так как при этом методе их число достигает
где q – количество узлов в электрической цепи.
Принцип расчёта электрической цепи заключается в следующем:
- Принимаем один из узлов цепи за базисный и присваиваем ему потенциал равный нулю;
- Для оставшихся узлов составляем уравнения по первому закону Кирхгофа, заменяя токи в ветвях по закону Ома через напряжение и сопротивление;
- После решения получившейся системы уравнений вычисляем токи в ветвях по обобщенному закону Ома.
В качестве примера возьмём предыдущую цепь и составим систему уравнений
В качестве базисного возьмём узел А и заземлим его, для остальных узлов B и D составим уравнения по первому закону Кирхгофа
Примем потенциалы узлов В = U1 и D = U2, тогда токи в ветвях выразятся через обобщённый закон Ома
В результате получившаяся система будет иметь следующий вид
Рассчитаем схему, изображённую на рисунке выше со следующими параметрами E1 = E3 = 100 B, E2 = 50 B, R1 = R2 = 10 Ом, R3 = R4 = R5 = 20 Ом. Запишем систему уравнений
В результате решения системы уравнений мы пришли к следующим результатам: потенциал в узле В – U1 = -57,14 В, а в узле D – U2 = 14,29 В. Теперь нетрудно посчитать, что токи в ветвях будут равны
Результат решения для токов I2 и I5 получился отрицательным, так как действительное направление токов противоположно направлению, изображённому на рисунке. Данные результаты совпадают с результатами, полученными для этой же схемы при расчёте по методу контурных токов.
Теория это хорошо, но без практического применения это просто слова.Здесь можно всё сделать своими руками.
Суть метода контурных токов
Основные принципы данного метода основываются на том факте, что протекающие в ребрах цепи токи, не все считаются независимыми. Присутствующие в системе У-1 уравнения для узлов, четко показывают зависимость от них У-1 токов. При выделении в электрической цепи независимого тока Р-У+1, вся система может быть сокращена до уравнений Р-У+1. Таким образом, метод контурных токов представляет собой очень простое и удобное выделение в цепи независимых токов Р-У+1.
Для того чтобы построить систему независимых контуров, используется простой и наглядный метод создания планарных графов. На данной схеме ветви и узлы цепи размещаются на плоскости таким образом, что взаимное пересечение ребер полностью исключается. С помощью этого метода плоскость разбивается на области, ограниченные замкнутыми цепочками ребер. Именно они и составляют систему независимых контуров. Данный метод более всего подходит для ручных расчетов схем. Однако его применение может стать затруднительным или вовсе невозможным, если рассматриваемая схема не укладывается в рамки планарного графа.
Другим способом расчетов служит метод выделения максимального дерева. Само дерево представлено в виде подмножества звеньев электрической цепи и является односвязным графом, в котором отсутствуют замкнутые контуры. Для того чтобы оно появилось, из цепи постепенно исключаются некоторые звенья. Дерево становится максимальным, когда к нему добавляется любое исключенное звено, в результате чего образуется контур.
Применение метода выделения максимального дерева представляет собой последовательное исключение из цепи заранее установленных звеньев в соответствии с определенными правилами. Каждый шаг в цепи предполагает произвольное исключение одного звена. Если такое исключение нарушает односвязность графа, разбивая его на две отдельные части, в этом случае звено может возвратиться обратно в цепь. Если граф остается односвязным, то и звено остается исключенным. В конечном итоге, количество звеньев, исключенных из цепи, оказывается равным количеству независимых контуров, расположенных в схеме. Получение каждого нового независимого контура связано с присоединением к электрической цепи конкретного исключенного звена.
